Question

一次數(shù)學(xué)考試中有A，B，C三道填空題為選做題，規(guī)定每個考生必須也只需選做其中的兩道題，已知甲、乙兩名考生都隨機地選做了其中的兩道題．
（I）求考生甲選做了A題的概率； 
（II）求這三名學(xué)生中選做A題的人數(shù)ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）“考生甲選作了A題”事件包含：選作AB、AC兩種情況，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求得；
（II）先求出A題被一生選中的概率及不被選中的概率，則三名學(xué)生選題相當于做了三次獨立重復(fù)試驗，由獨立重復(fù)試驗的概率計算公式可得ξ=0，1，2，3時的概率，進而得其分布列、期望；

解答：解：（Ⅰ）“考生甲選作了A題”事件包含：選作AB、AC兩種情況，
所以考生甲選做A題的概率為：

C 1 1 C 1 2

C 2 3

=

2

3

；
（Ⅱ）顯然ξ=0，1，2，3，由于A題不被甲選中的概率為

1

3

，被甲選中的概率為

2

3

，
所以P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

3

)3=

1

27

，P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

3

)2

2

3

=

2

9

，P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

3

)(

2

3

)2=

4

9

，P（ξ=3）=

C

3 3

(

2

3

)3=

8

27

，
ξ的分布列如下所示：

所以Eξ=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、期望，獨立重復(fù)試驗，考查學(xué)生對問題的分析理解能力，屬中檔題．