Question

（Ⅰ）解關于x的不等式：x²-2x+1-a²≥0；
（Ⅱ）已知集合A是函數y=lg（20+8x-x²）的定義域，p：x∈A，q：x²-2x+1-a²≥0（a＞0），若¬p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）x²-2x+1-a²≥0?（x-1-a）（x-1+a）≥0，且方程x²-2x+1-a²=0有兩個根 1+a和1-a，通過對兩根大小的討論分情況求出解集．
（Ⅱ）先解出集合A={x|-2＜x＜10}，再求出滿足¬p，q 的x的取值范圍，根據¬p是q的充分不必要條件，轉化為相應集合的關系，求出a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）x²-2x+1-a²≥0?（x-1-a）（x-1+a）≥0
相應的方程x²-2x+1-a²=0的兩個根 1+a和1-a
當a＞0時，1+a＞1-a，不等式的解為{x|x≥1+a或x≤1-a}
當a=0時，1+a=1-a，不等式的解為R
當a＜0時，1+a＜1-a，不等式的解為{x|x≥1-a或x≤1+a}    …（6分）
（Ⅱ）若p成立，20+8x-x²＞0?x²-8x-20＜0?-2＜x＜10
∴A={x|-2＜x＜10}…（8分）
當a＞0時，不等式x²-2x+1-a²≥0的解為{x|x≥1+a或x≤1-a}
則若q成立，則x∈{x|x≥1+a或x≤1-a} 記為集合B
∵非p是q的充分不必要條件，則而C_RA?B，…（10分）C_RA={x|x≤-2或x≥10}
即，∴0＜a≤3．                         …（14分）
點評：本題考查了一元二次不等式的解，充要條件，集合間的關系，考查分類討論、轉化、計算能力．