Question

定義在R上的函數y=f(x)，f(0)≠0，當x>0時，f(x)>1，且對任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，

（1）求證：f(0)=1；

（2）求證：對任意的x∈R，恒有f(x)>0；

（3）證明：f(x)是R上的增函數；

（4）若f(x)?f(2x-x²)>1，求x的取值范圍。

Answer 1

解析： （1）令a=b=0，則f(0)=[f(0)]²∵f(0)≠0 ∴f(0)=1

（2）令a=x，b=-x則 f(0)=f(x)f(-x) ∴

由已知x>0時，f(x)>1>0，當x<0時，-x>0，f(-x)>0

∴又x=0時，f(0)=1>0

∴對任意x∈R，f(x)>0

(3)任取x₂>x₁，則f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0

 ∴

 ∴f(x₂)>f(x₁) ∴f(x)在R上是增函數

（4）f(x)?f(2x-x²)=f[x+(2x-x²)]=f(-x²+3x)又1=f(0)，

f(x)在R上遞增

∴由f(3x-x²)>f(0)得：3x-x²>0 ∴ 0<x<3