Question

如圖（1），一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內盛有a升水時，水面恰好經過正四棱錐的頂點P．如果將容器倒置，水面也恰好過點P（圖（2））
有下列四個命題：
A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半
B．將容器側面水平放置時，水面也恰好過點P
C．任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經過點P
D．若往容器內再注入a升水，則容器恰好能裝滿．
其中真命題的代號是：

 

（寫出所有真命題的代號）．

Answer 1

分析：設出圖（1）的水高，和幾何體的高，計算水的體積，容易判斷A、D的正誤；
對于B，當容器側面水平放置時，P點在長方體中截面上，根據體積判斷它是正確的．
根據當水面與正四棱錐的一個側面重合時，計算水的體積和實際不符，是錯誤的．

解答：解：設圖（1）水的高度h₂幾何體的高為h₁
圖（2）中水的體積為b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），
所以

2

3

b²h₂=b²（h₁-h₂），所以h₁=

5

3

h₂，故A錯誤，D正確．
對于B，當容器側面水平放置時，P點在長方體中截面上，
又水占容器內空間的一半，所以水面也恰好經過P點，故B正確．
對于C，假設C正確，當水面與正四棱錐的一個側面重合時，
經計算得水的體積為

25

36

b²h₂＞

2

3

b²h₂，矛盾，故C不正確．
故選BD

點評：本題考查空間想象能力，邏輯思維能力，幾何體的體積，是難題．