Question

如圖，已知是橢圓的右焦點；圓與軸交于兩點，其中是橢圓的左焦點.

（1）求橢圓的離心率；
（2）設圓與軸的正半軸的交點為，點是點關于軸的對稱點，試判斷直線與圓的位置關系；
（3）設直線與圓交于另一點，若的面積為，求橢圓的標準方程.

Answer 1

（1）；（2）相切；（3）.

試題分析：（1）將點代入圓的方程，得出與的等量關系，進而求出橢圓的離心率；（2）先求出點、的坐標，進而求出直線的斜率，通過直線的斜率與直線的斜率的乘積為，得到，進而得到直線與圓的位置關系；（3）通過為的中位線得到與的面積，從而求出的值，進而求出與的值，從而確定橢圓的標準方程.
試題解析：（1）圓過橢圓的左焦點，把代入圓的方程，得，
故橢圓的離心率；
（2）在方程中令得，可知點為橢圓的上頂點，
由（1）知，，故，，故，
在圓的方程中令可得點坐標為，則點為，
于是可得直線的斜率，而直線的斜率，
，直線與圓相切；
（3）是的中線，，
，從而得，，橢圓的標準方程為.