Question

對定義域是D_f．D_g的函數(shù)y=f（x）．y=g（x），
規(guī)定：函數(shù)h（x）=

f(x)g(x)，當x∈Df且x∈Dg f(x)，當x∈Df且x∉Dg g(x)，當x∉Df且x∈Dg

．
（1）若函數(shù)f（x）=

1

x-1

，g（x）=x²，寫出函數(shù)h（x）的解析式；
（2）求問題（1）中函數(shù)h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，π]，請設計一個定義域為R的函數(shù)y=f（x），及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）將f（x）=

1

x-1

，g（x）=）=x²，代入h（x）=

f(x)g(x)，當x∈Df且x∈Dg f(x)，當x∈Df且x∉Dg g(x)，當x∉Df且x∈Dg

（2）利用雙勾函數(shù)的性質(zhì)求得；（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

解答：解：（1）h（x）=

x2 x-1 ，x∈(-∝，1)∪(1，+∞) 1，x=1

，．
（2）當x≠1時，h（x）=

x2

x-1

=x-1+

1

x-1

+2，
若x＞1時，則h（x）≥4，其中等號當x=2時成立
若x＜1時，則h（x）≤0，其中等號當x=0時成立
∴函數(shù)h（x）的值域是（-∞，0]∪{1}∪[4，+∞）
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

則g（x）=f（x+α）=sin2（x+

π

4

）+cos2（x+

π

4

）=cos2x-sin2x，
于是h（x）=f（x）•f（x+α）=（sin2x+cos2x）（cos2x-sin2x）=cos4x．
另解令f（x）=1+

2

sin2x，α=

π

2

，
g（x）=f（x+α）=1+

2

sin2（x+π）=1-

2

sin2x，
于是h（x）=f（x）•f（x+α）=（1+

2

sin2x）（1-

2

sin2x）=cos4x．

點評：本題主要考查求函數(shù)解析式和求最值以及構造函數(shù)等問題．