Question

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，ccosA=

4

b

且△ABC的面積S≥2，
（1）求A的取值范圍；
（2）求函數f(A)=cos2

A

2

+

3

sin2(

π

4

+

A

2

)-

3

2

的最值．

Answer 1

分析：（1）通過 ccosA=

4

b

，且△ABC的面積S≥2，得到B的正切值的范圍，然后求角B的取值范圍；
（2）由二倍角的三角函數公式及三角函數的誘導公式的基本關系，把f(A)=cos2

A

2

+

3

sin2(

π

4

+

A

2

)-

3

2

化為f(A)=sin(A+

π

6

)+

1

2

，由A的范圍得到A+

π

6

的范圍，進而得到f(A)=sin(A+

π

6

)+

1

2

的最大值．

解答：解：（1）S=

1

2

bcsinA
4=bccosA
則tanA=

1

2

S≥1
∴

π

4

≤A＜

π

2

（2）f(A)=

1

2

cosA+

3

2

sinA+

1

2

=sin(A+

π

6

)+

1

2

∵

5π

12

≤A+

π

6

＜

2π

3

∴f（A）無最小值，A=

π

3

時，f（A）取得最大值為

3

2

點評：本題是中檔題，三角函數的二倍角公式、兩角差正弦函數的應用，考查解三角形的面積等知識，解題的關鍵是利用二倍角公式對函數式的化簡，考查計算能力．