Question

已知函數f（x）=xlnx與函數g（x）=x+

1

ax

（x＞0）均在x=x₀時取得最小值，設函數h（x）=f（x）-g（x），e為自然對數的底數．
（I）求實數a的值；
（Ⅱ）證明：

1

e

是函數h（x）的一個極大值點；
（Ⅲ）證明：函數h（x）的所有極值點之和的范圍是（

3

e

，

e+1

e

）．

Answer 1

考點：函數在某點取得極值的條件

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先用導數由f（x）求出x₀，再分情況討論g（x）的最小值及此時x值，由x₀=x即可求出a值；
（Ⅱ）利用導數與函數極值的關系可以證明，為判斷h′（x）的符號，此題要對h′（x）再次求導；
（Ⅲ），先找出所有極值點，再求證即可．

解答： 解：（I）f′（x）=（xlnx）′=lnx+1，令f′（x）=0得x=

1

e

，列表：

x	（0， 1 e ）	1 e	（ 1 e ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	1	極小值- 1 e	Z

∴當x=

1

e

時，函數f（x）=xlnx取得最小值，∴x 0=

1

e

，
當a＜0時，g（x）是增函數，此時無最小值時，
當a＞0，函數g（x）=x+

1

ax

≥2

1 a

是最小值，取等號時，x₀=

1 a

，
由

1 a

=

1

e

，得a=e²．
（II）∵h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-x-

1

e2x

，h′（x）=lnx+

1

e2x2

，
∴h″（x）=

e2x-2

e2x3

，h″（x）＜0?0＜x＜

2

e

∴所以h′（x）在（0，

2

e

）遞減，在（

2

e

，+∞）遞增，
∵h′（

1

e

）=，∴x∈（0，

1

e

）時，h′（x）＞0，h（x）遞增，
x∈（

1

e

，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）遞減，
∴

1

e

是函數h（x）的一個極大值點
（III）∵h′（x）=ln

2

e

+

1

2

=

1

2

（ln2-1）＜0，h′（1）=

1

e2

＞0，
∵h′（x）（

2

e

，+∞）遞增，
∴在（

2

e

，1）存在唯一實數m，使得 h′（m）=0，
∵h′（x）在（

2

e

，+∞）遞增，
∴x∈（

2

e

，m）時，h′（x）＞0，h（x）遞減，
x∈（m，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）遞增，
∴函數h（x）在（

2

e

，+∞）有唯一極小值點m，
∵h′(

2

e

)ln2-

3

4

＜0，
∴m∈（

2

e

，1），
由（II）知，h（x）在（0，

2

e

）有唯一極值點

1

e

，
∴函數h（x）的所有極值點之和

1

e

+m∈（

3

e

，

e+1

e

）．

點評：本題考查應用導數求函數的最值、極值，研究函數的單調性，考查綜合運用知識分析問題、解決問題的能力，難度較大．