Question

【題目】某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮，現按同樣的規律刺繡（小正方形的擺放規律相同），設第n個圖形包含個小正方形.

（1）求出；

（2）利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出與的關系式，

（3）根據你得到的關系式求的表達式

Answer 1

【答案】（1）41（2）f（n）=2n2﹣2n+1．

【解析】【試題分析】（1）先求出，找出規律，求出；（2）借助歸納推理找出規律：-；（3）借助（2）的規律-運用兩邊疊加的方法求解：

解：（Ⅰ）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，

∴f（2）﹣f（1）=4=4×1．

f（3）﹣f（2）=8=4×2，

f（4）﹣f（3）=12=4×3，

f（5）﹣f（4）=16=4×4

∴f（5）=25+4×4=41．

（Ⅱ）由上式規律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．

∴f（2）﹣f（1）=4×1，

f（3）﹣f（2）=4×2，

f（4）﹣f（3）=4×3，

…

f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4（n﹣2），

f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）

∴f（n）﹣f（1）=4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]=2（n﹣1）n，

∴f（n）=2n2﹣2n+1．