Question

已知函數
（1）求函數的單調區間．
（2）若方程有4個不同的實根，求的范圍？
（3）是否存在正數，使得關于的方程有兩個不相等的實根？如果存在，求b滿足的條件，如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）增區間為，減區間為；（2）；（3）不存在，理由見詳解．

試題分析：（1）首先求導函數，然后通過判斷的符號可求得單調區間；（2）構造函數，然后利用導數研究函數的取值變化，確定圖象的位置，由圖象可直觀得到函的取值范圍；（3）
試題解析：（1）根據定義域后，求導得到，
根據導數和0的關系得到在是函數的增區間；在是函數減區間．
（2）（2）令，求導得，
里面有一個零點和兩個斷點，所以初步可以得到函數在區間單調增；在區間單調減．
當從負半軸方向趨近于－1時，
當從正半軸方向趨近于－1時，
而且時，，
而且可以很容易得到，函數為偶函數，而且，
另半邊的圖像就容易模擬得到了，所以有4個不同的實根，結合圖像得到．
（本題必須另半邊如果不分析必須用奇偶性說明；而且必須說明在斷點處的趨勢，否則扣2到3分）
（3）結論：這樣的正數不存在．
假設存在滿足條件的，使得方程存在兩個不相等的實根和，然后代入方程，根據其結構利用第（1）問的結論判斷出在上的取值及單調性，然后結合假設導出矛盾，作出判斷．
假設存在正數，使得方程存在兩個不相等的實根和，則

根據定義域知道和都是正數．
根據第1問知道，當時，函數的最小值，
所以，
因為，等式兩邊同號，所以，所以
不妨設
由（1）（2）可得，
所以，
所以．
因為很容易證明到函數在為恒大于0且為減函數
所以（*）方程顯然不成立，因為左邊大于1，右邊小于1．
所以原假設：存在正數，使得方程存在兩個不相等的實根和錯誤（本題其他證法，請酌情給分）