Question

某國采用養老儲備金制度，公民在就業的第一年就交納養老儲備金，數目為a₁，以后每年交納的數目均比上一年增加d（d＞0），因此，歷年所交納的儲備金數目a₁，a₂，…是一個公差為d的等差數列．與此同時，國家給予優惠的計息政府，不僅采用固定利率，而且計算復利．這就是說，如果固定年利率為r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為a₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲備金就變成a₂（1+r）^n-2，…．以T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額．
（Ⅰ）寫出T_n與T_n-1（n≥2）的遞推關系式；
（Ⅱ）求證T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一個等比數列，{B_n}是一個等差數列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為a₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲備金就變成a₂（1+r）^n-2，…，即可得到結論；
（Ⅱ）根據已知中Tn所表示的實際意義，根據T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額，及儲備金總額的計算方法計算T_n，然后對其進行分解，并對分解結合等差數列等比數列的定義進行分析，不難得到結果．

解答：解：（I）根據在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為a₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲備金就變成a₂（1+r）^n-2，…，我們有T_n=T_n-1（1+r）+a_n（n≥2）．
（II）T₁=a₁，對n≥2反復使用上述關系式，得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an，①
在①式兩端同乘1+r，得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r)．②
②-①，得rTn=a1(1+r)n+d[(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)]-an，=

d

r

[(1+r)n-1-r]+a1(1+r)n-an，
即T_n=

a1r+d

r2

（1+r）ⁿ-

d

r

n-

a1r+d

r2

如果記A_n=

a1r+d

r2

(1+r)n，B_n=-

d

r

n-

a1r+d

r2

，則T_n=A_n+B_n．
其中{A_n}是以

a1r+d

r2

（1+r）為首項，以1+r（r＞0）為公比的等比數列；{B_n}是以-

a1r+d

r2

-

d

r

為首項，-

d

r

為公差的等差數列．

點評：本題考查數列模型的構建，考查錯位相減法的運用，解題的關鍵是正確構建數列模型．