Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為CD和A₁D₁的中點(diǎn)，那么異面直線AM與BN 所成的角是（　�。�

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

Answer 1

分析：取C₁D₁的中點(diǎn)P，取PD₁的中點(diǎn)Q，連接BQ，NQ，易證得NQ∥AM，，∠BNQ即為異面直線AM與BN 所成的角，根據(jù)在△BNQ中，易求出∠ADQ為直角．

解答：解：取C₁D₁的中點(diǎn)P，取PD₁的中點(diǎn)Q，連接BQ，NQ
根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征
可得AM∥A₁P，且NQ∥A₁P，
故NQ∥AM，
則∠BNQ即為異面直線AM與BN 所成的角，
∵在△BC₁Q中，BQ=

BC 12+C 1Q2

=

( 2 a)2+( 3 4 a)2

=

41

4

a
∴在△BNQ中，NQ=

( 1 2 a)2+( 1 4 a)2

=

5

4

a，
BN=

a2+a2+( 1 2 a)2

=

3

2

a，
∴BN²+NQ²=BQ²
∴∠BNQ=90°
故答案為90°．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線及其所成的角，其中構(gòu)造出兩條件異面直線所成的角解答本題的關(guān)鍵．