Question

(本題分12分）    

定義.

（Ⅰ）求曲線與直線垂直的切線方程；

（Ⅱ）若存在實數使曲線在點處的切線斜率為,且,求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）. (2) 。

【解析】本試題主要是考查了導數的幾何意義的運用，以及運用導數求解函數的最值問題的綜合運用。

（1）因為所求曲線的切線與直線垂直，故令

得得到，進而得到切線方程。

（2）函數

令,得

因切點為,故有，構造函數利用導數求解不等式轉化為在上有解來解決。

解：（1）函數，

依題意令①， -------------------------2分

因為所求曲線的切線與直線垂直，故令

得②，由①②知應取，得，切點為，

所求切線方程是，即.------------------4分

(2)函數

令,得

因切點為,故有-----------------6分

又,依題意有

所以

即---------------------8分

該不等式在上有解,即在上有解,

轉化為在上有解,-------- -------------10分

令,則,在上恒有

所以函數是上的減函數,

其最大值為,所以實數的取值范圍是--------------12分