Question

已知函數f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0）．
（1）判斷函數f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（2）若f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，求a的值．

Answer 1

（1）函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
設x₁＞x₂＞0，f(x1)-f(x2)=(

1

a

-

1

x1

)-(

1

a

-

1

x2

)=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1•x2

因為x₁＞x₂＞0，所以x₁-x₂＞0，x₁•x₂＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），因此函數f（x）在（0，+∞）上是單調遞增的．
（2）由（1）知函數f（x）在[

1

2

，2]上單調遞增，并且f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，
所以

f( 1 2 )= 1 a -2= 1 2 f(2)= 1 a - 1 2 =2

，所以a=

2

5

．