Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx，a≠0．
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設函數f（x）的圖象C₁與函數g（x）圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C₁，C₂于點M、N，證明C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數h（x）的解析式，因為函數h（x）存在單調遞減區間，所以h'（x）＜0有解，求出a的取值范圍；
（Ⅱ）先利用導數分別表示出函數在C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線，結合過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C₁，C₂于點M、N，建立關系式，通過反證法進行證明即可．

解答：解：（Ⅰ）b=2時，h（x）=lnx-

1

2

ax²-2x，
則h′（x）=

1

x

-ax-2=-

ax2+2x-1

x

．
因為函數h（x）存在單調遞減區間，所以h'（x）＜0有解．
又因為x＞0時，則ax²+2x-1＞0有x＞0的解．
①當a＞0時，y=ax²+2x-1為開口向上的拋物線，ax²+2x-1＞0總有x＞0的解；
②當a＜0時，y=ax²+2x-1為開口向下的拋物線，而ax²+2x-1＞0總有x＞0的解；
則△=4+4a≥0，且方程ax²+2x-1=0至少有一正根．此時，-1≤a＜0．
綜上所述，a的取值范圍為[-1，0）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）設點P、Q的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．
則點M、N的橫坐標為x=

x1+x2

2

，
C₁在點M處的切線斜率為k₁=

1

x

，x=

x1+x2

2

，k₁=

2

x1+x2

，
C₂在點N處的切線斜率為k₂=ax+b，x=

x1+x2

2

，k₂=

a(x1+x2)

2

+b．
假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則k₁=k₂．
即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，
則

2(x2-x1)

x1+x2

=

a

2

（x₂²-x₁²）+b（x₂-x₁）
=

a

2

（x₂²+bx₂）-（

a

2

x12+bx₁）
=y₂-y₁
=lnx₂-lnx₁．
所以ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

．設t=

x2

x1

，則lnt=

2(t-1)

1+t

，t＞1①
令r（t）=lnt-

2(t-1)

1+t

，t＞1．則r′t=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

．
因為t＞1時，r'（t）＞0，所以r（t）在[1，+∞）上單調遞增．故r（t）＞r（1）=0．
則lnt＞

2(t-1)

1+t

．這與①矛盾，假設不成立．
故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．

點評：本題考查了函數單調性的應用，以及利用導數研究曲線上某點處的切線問題，屬于難題．