Question

【題目】當前，以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進.高中聯招對初三畢業學生進行體育測試，是激發學生、家長和學校積極開展體育活動，保證學生健康成長的有效措施.程度2019年初中畢業生升學體育考試規定，考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分.某學校在初三上期開始時要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學生進行測試，得到下邊頻率分布直方圖，且規定計分規則如下表：

每分鐘跳繩個數
得分	17	18	19	20

（Ⅰ）現從樣本的100名學生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；；

（Ⅱ）若該校初三年級所有學生的跳繩個數服從正態分布，用樣本數據的平均值和方差估計總體的期望和方差，已知樣本方差（各組數據用中點值代替）.根據往年經驗，該校初三年級學生經過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數都有明顯進步，假設今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數比初三上學期開始時個數增加10個，現利用所得正態分布模型：

預計全年級恰有2000名學生，正式測試每分鐘跳182個以上的人數；（結果四舍五入到整數）

若在全年級所有學生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳195以上的人數為ξ，求隨機變量的分布列和期望.

附：若隨機變量服從正態分布，則，，.

Answer 1

【答案】（I）；（II） ;詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據古典概率概率公式求解即可得到結果；（Ⅱ）先根據頻率分布直方圖得到平均數個，結合題意得到正式測試時根據正態曲線的對稱性可得，由此可預計所求人數；由題意得，根據獨立重復試驗的概率可得當分別取時的概率，然后可得分布列及期望．

（Ⅰ）設“兩人得分之和不大于35分”為事件A，則事件A包括兩種情況：①兩人得分均為17分；②兩人中1人得17分，1人得18分．

由古典概型概率公式可得，

所以兩人得分之和不大于35分的概率為．

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可得樣本數據的平均數為

（個），

又由，

所以正式測試時，

∴．

由正態曲線的對稱性可得

∴（人），

所以可預計全年級恰有2000名學生，正式測試每分鐘跳182個以上的人數為1683人．

由正態分布模型，全年級所有學生中任取1人，每分鐘跳繩個數195以上的概率為0.5，

所以

∴

．

∴ 的分布列為

	0	1	2	3

∴．