Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)

(Ⅰ)請研究函數(shù)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x₁、x₂總有以下不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.若函

 

數(shù)的最小值為，試判斷函數(shù)是否為“凹函數(shù)”，并對你的判斷加以證明.

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601032188653645/SYS201205260105250740841270_DA.files/image002.png">，.

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).

(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以由（1）知.此時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，有

，令，則由，

于是，在上遞減，且；在上遞減，且；

在上遞增，且.所以，，

于是，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

另解：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以由（1）知，且為極小值，根據(jù)圖像，只需要即可.

(Ⅲ)由（1）知， ，其中.

對于任意的，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601032188653645/SYS201205260105250740841270_DA.files/image026.png">

 

=>0，所以.

因此，函數(shù)在其定義域 內(nèi)是 “凹函數(shù)”.

【解析】略