Question

已知函數f(x)=

x+ 9 x ，(x＞0) 2x-1，(x≤0)

（1）求證：函數f（x）在區間（0，3]上是單調減函數，在區間[3，+∞）上是單調增函數；
（2）求函數f（x）在x∈[-2，-1]∪[3，6]上的值域．

Answer 1

分析：（1）任設x_x＜x₂，且x₁∈（0，+∞），x₂∈（0，+∞），分當0＜x_x＜x₂≤3時和當3≤x_x＜x₂時兩種情況，討論差式f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)

x1x2

(x1x2-9)的符號，結合函數單調性的定義，可得結論；
（2）由（1）中結論，可得x∈[3，6]時，6=f(3)≤f(x)≤f(6)=

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2

，結合x∈[-2，-1]時，f（x）=2x-1為增函數，即-5=f（-2）≤f（x）≤f（-1）=-3，綜合討論結果可得答案．

解答：證明：（1）任設x_x＜x₂，且x₁∈（0，+∞），x₂∈（0，+∞）
則f(x1)-f(x2)=x1+

9

x1

-(x2+

9

x2

)=

(x1-x2)

x1x2

(x1x2-9)
當0＜x_x＜x₂≤3時，x₁x₂-9＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
則f（x₁）＞f（x₂）；
故函數f（x）在區間（0，3]上是單調減函數，
當3≤x_x＜x₂時，x₁x₂-9＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
則f（x₁）＞f（x₂）；
故函數f（x）在區間[3，+∞）上是單調增函數．
解：（2）因為[3，6]⊆[3，+∞），
且根據（1）知，f（x）在區間[3，6]上是單調增函數，
則x∈[3，6]時，6=f(3)≤f(x)≤f(6)=

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當x∈[-2，-1]時，f（x）=2x-1為增函數
故-5=f（-2）≤f（x）≤f（-1）=-3
綜上，函數f（x）在x∈[-2，-1]∪[3，6]上的值域為[-5，-3]∪[6，

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2

]．

點評：本題考查的知識點是函數單調性的性質，函數單調性的判斷與證明，單調性法求函數的值域，熟練掌握函數單調性的證明方法和步驟是解答的關鍵．