Question

已知函數y=

2

•32x-1的圖象恒過定點P，若冪函數f（x）=x^a的圖象也過點P．
（1）求實數a的值；
（2）試用單調性定義證明：函數f（x）在區間（0，+∞）內是減函數．

Answer 1

分析：（1）先由冪函數f（x）=x^a的圖象經過點P（

1

2

，

2

），求出a；
（2）先在定義域上取值，再作差、變形，變形徹底后根據式子的特點，討論判斷符號、下結論．

解答：解：（1）由已知P（

1

2

，

2

），
∴f（

1

2

）=

2

，
∴（

1

2

）^a=

2

，
∴a=-

1

2

，
（2）f（x）=x -

1

2

設0＜x₁＜x₂，則有
f（x₁）-f（x₂）=x₁ -

1

2

-x₂ -

1

2

=

x2 - x1

x1x2

=

x2-x1

x1x2 ( x1 + x2 )

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，

x1x2

(

x1

+

x2

)＞0，
所以f（x₁）-f（x）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函數f（x）在區間（0，+∞）上是單調遞減函數．

點評：本題主要考查了利用待定系數求解冪函數的函數解析式，考查了函數單調性的證明方法：定義法，關鍵是變形一定徹底，直到能明顯的判斷出符號為止．屬于基礎試題．