Question

已知函數f(x)＝mx²－mx－1.
（1）若對于x∈R，f(x)＜0恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）若對于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）的取值范圍（2）的取值范圍

試題分析:（1）對于含二次項恒成立的問題，注意討論二次項系數是否為0，這是學生容易漏掉的地方.（2）恒成立問題一般需轉化為最值，利用單調性證明在閉區間的單調性.（3）一元二次不等式在上恒成立，看開口方向和判別式.（4）含參數的一元二次不等式在某區間內恒成立的問題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數在區間上的最值來處理；二是分離參數，再去求函數的最值來處理，一般后者比較簡單.
試題解析:解析（1）由題意可得m＝0或?m＝0或－4＜m＜0
?－4＜m≤0.
故m的取值范圍為(－4,0].                               6分
（2）∵f(x)＜－m＋5?m(x²－x＋1)＜6，
∵x²－x＋1＞0，∴m＜對于x∈[1,3]恒成立，
記g(x)＝，x∈[1,3]，
記h(x)＝x²－x＋1，h(x)在x∈[1,3]上為增函數.則g(x)在[1,3]上為減函數，  
∴[g(x)]_min＝g（3）＝，  ∴m＜.   所以m的取值范圍為.      3分