Question

設l，m是兩條異面直線，在l上有A，B，C三點，且AB=BC，過A，B，C分別作m的垂線AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=

15

，BE=

7

2

CF=

10

，求l與m的距離．

Answer 1

分析：過m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP與l確定平面β，β∩α=l'，l'∩m=K．作BQ⊥α，CR⊥α，垂足分別為Q、R，根據三垂線定理逆定理，得PD、QE、RF都垂直于m，設d為異面直線l、m的距離，得PD=

15-d2

，QE=

49 4 -d2

，RF=

10-d2

，最后根據點D、E、F與K的位置進行分類，建立方程并解之，即得異面直線l與m的距離．

解答：解：過m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP與l確定平面β，β∩α=l'，l'∩m=K
作BQ⊥α，CR⊥α，垂足分別為Q、R，則Q、R∈l'，且AP=BQ=CR=d，d為異面直線l、m的距離
連接PD、QE、RF，則由三垂線定理逆定理，得
∵AD⊥m，BE⊥m，CF⊥m，PD、QE、RF分別為AD、BE、CF在α內的射影
∴PD、QE、RF都與直線m垂直，
∴PD=

15-d2

，QE=

49 4 -d2

，RF=

10-d2

當D、E、F在K的同側時，2QE=PD+RF
∴

49-4d2

=

15-d2

+

10-d2

，解之得d=

6

當D、E、F在K的兩側時，2QE=PD-RF
∴

49-4d2

=

15-d2

-

10-d2

，解之得方程無實數根
綜上所述，得異面直線l、m的距離d=

6

點評：本題給出兩條異面直線，在已知一直線上等距離的三點到另一直線距離的情況下求兩條異面直線的距離，著重考查了空間的垂直位置關系和異面直線距離求法等知識點，屬于基礎題．