Question

（2010•黃岡模擬）已知等比數列{a_n}中，a₁=a，a₂=b，a₃=c，a，b，c分別為△ABC的三內角A，B，C的對邊，且cosB=

3

4

．
（1）求數列{a_n}的公比q；
（2）設集合A={x∈N|x²＜2|x|}，且a₁∈A，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由等比數列的性質得出a，b及c的關系式，根據余弦定理表示出cosB，把得出的關系式代入化簡后，由已知cosB的值，再根據等比數列的性質得到

c

a

=q²，可列出關于公比q的方程，求出方程的解得到q的值；
（2）把集合A中的不等式左右兩邊平方，整理后，右邊化為0，左邊分解因式，轉化為一個一元二次不等式，求出不等式的解集，在解集中找出正整數解，確定出集合A，進而確定出a₁的值，由（1）求出的公比q的值，寫出等比數列的通項公式即可．

解答：解：（1）依題意知：b²=ac，
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

×（

a

c

+

c

a

）-

1

2

=

3

4

，（3分）
而

c

a

=q²，代入上式得q²=2或q²=

1

2

，
又在三角形中a，b，c＞0，
∴q=

2

或q=

2

2

；（6分）
（2）∵x²＜2|x|，∴x⁴-4x²＜0，
即x²（x²-4）＜0，∴-2＜x＜2且x≠0，（8分）
又x∈N，所以A={1}，
∴a₁=1，a_n=(

2)

n-1或a_n=(

2

2

)n-1（10分）

點評：此題考查了等比數列的通項公式，等比數列的性質，余弦定理，以及其他不等式的解法，利用了轉化的思想，是高考中常考的題型，數列掌握公式及定理是解本題的關鍵．