Question

已知函致f （x）=x³+bx²+cx+d．
（I）當b=0時，證明：曲線y=f（x）與其在點（0，f（0））處的切線只有一個公共點；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為12x+y-13=0，記函數y=f（x）的兩個極值點為x₁，x₂，當x₁+x₂=2時，求f（x₁）+f（x₂）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，確定切線的斜率，從而可得切線方程，與已知曲線聯立，即可得到結論；
（Ⅱ）確定切點坐標，利用導數確定函數的單調性與極值，即可求得結論．

解答：（Ⅰ）證明：當b=0時，f（x）=x³+cx+d，f′（x）=3x²+c．
∴f（0）=d，f′（0）=c．…（2分）
曲線y=f（x）與其在點（0，f（0））處的切線為y=cx+d．
由

y=x3+cx+d y=cx+d

消去y，得x³=0，x=0．
所以曲線y=f（x）與其在點（0，f（0））處的切線只有一個公共點即切點．…（4分）
（Ⅱ）解：由已知，切點為（1，1）．
又f′（x）=3x²+2bx+c，于是

f(1)=1 f′(1)=-12

，即

1+b+c+d=1 3+2b+c=-12

得c=-2b-15，d=b+15．…（7分）
從而f（x）=x³+bx²-（2b+15）x+b+15，f′（x）=3x²+2bx-2b-15．
依題設，x₁+x₂=-

2b

3

，故b=-3．…（9分）
于是f（x）=x³-3x²-9x+12，f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值17	↘	極小值-15	↗

由此知，f（x₁）+f（x₂）=2．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．