Question

設函數.

（Ⅰ）若x＝時，取得極值，求的值；

（Ⅱ）若在其定義域內為增函數，求的取值范圍；

（Ⅲ）設，當=－1時，證明在其定義域內恒成立，并證明（）.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）的取值范圍是（Ⅲ）見解析

解析:

，

（Ⅰ）因為時，取得極值，所以，

 即    故．     ………………………………………………3分

（Ⅱ）的定義域為.

方程的判別式,

(1) 當, 即時，,

在內恒成立, 此時為增函數.

(2) 當, 即或時，

要使在定義域內為增函數,

只需在內有即可,

設，

由   得 ,    所以.

由(1) (2)可知,若在其定義域內為增函數，的取值范圍是.

………………………………………………9分

（Ⅲ）證明：，當=－1時，，其定義域是，

令，得.則在處取得極大值，也是最大值.

而.所以在上恒成立.因此.

因為，所以.則.

所以

=

<

==.

所以結論成立.