Question

已知函數(shù)是偶函數(shù)．
（1）求k的值
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線沒有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閥=f（x）為偶函數(shù)，
所以?x∈R，f（-x）=f（-x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx對于?x∈R恒成立．
即恒成立
∴（2k+1）x=0恒成立，
∵x不恒為零，
∴．
（2）由題意知方程，即方程log₉（9^x+1）-x=b無解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=b無交點(diǎn)．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/325991.png' />
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則，從而．
于是，即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（-∞，+∞）是單調(diào)減函數(shù)．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/325995.png' />，所以．
所以b的取值范圍是（-∞，0]．
分析：（1）因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x）代入，求得k的值即可；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象與直線沒有交點(diǎn)，即無解，從而方程log₉（9^x+1）-x=b無解．令g（x）=log₉（9^x+1）-x，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=b無交點(diǎn)．可以驗(yàn)證g（x）為減函數(shù)，從而得到g（x）＞0，進(jìn)而可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用偶函數(shù)的定義，合理將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．