Question

（2008•寶山區二模）已知{a_n}是公差d大于零的等差數列，對某個確定的正整數k，有a₁²+a_k+1²≤M（M是常數）．
（1）若數列{a_n}的各項均為正整數，a₁=2，當k=3時，M=100，寫出所有這樣數列的前4項；
（2）若數列{a_n}的各項均為整數，對給定的常數d，當數列由已知條件被唯一確定時，證明a₁≤0；
（3）求S=a_k+1+a_k+2+…+a_2k+1的最大值及此時數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）根據當k=3時，M=100，d是正整數，建立關系式，即可求出d的值，從而求出數列的前4項；
（2）由題意得2a₁²+2kda₁+（kd）²-M≤0（*），令f（a₁）=2a₂¹+2kda₁+（kd）²-M，因為d，k均是正數，所以對稱軸a1=-

kd

2

＜0，開口向上，從而確定a₁的范圍；
（3）設a_k+1=x，則S=（k+1）x+

k(k+1)

2

d，轉化成關于x的二次函數求最值，從而求出此時數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）因為d是正整數，由2²+（2+3d）²≤100得，d=1或2．…（2分）
所求的數列為2，3，4，5或2，4，6，8．…（4分）
（2）由題意得2a₁²+2kda₁+（kd）²-M≤0（*）．…（5分）
令f（a₁）=2a₂¹+2kda₁+（kd）²-M，
因為d，k均是正數，所以對稱軸a1=-

kd

2

＜0，開口向上，…（6分）
①當（kd）²-M＞0時，若（*）有整數解，則必有a₁＜0．…（8分）
②當（kd）²-M≤0時，若（*）只有一個整數解，則必有a₁=0．…（10分）
（3）設a_k+1=x，則S=（k+1）x+

k(k+1)

2

d，所以kd=

2S

k+1

-2x…（12分）
M≥(x-kd)2+x2=10(x-

3S

5(k+1)

)2+

2

5

(

S

k+1

)2，…（13分）
故M≥

2

5

(

S

k+1

)2，即S≤

k+1

2

10M

，…（14分）
當S=

k+1

2

10M

時，x=3

M 10

，d=

4

k

M 10

，…（15分）
此時

a

2 1

+

a

2 k+1

=

M

10

+

9M

10

=M，所以S的最大值為

(k+1) 10M

2

．…（16分）
由ak+1=a1 +kd=3

M 10

，所以a1=-

M 10

，…（17分）
此時an=

4n-4-k

k

M 10

．…（18分）

點評：本題主要考查了數列與函數的綜合運用，同時考查了利用二次函數求最值，屬于中檔題．