Question

【題目】設(shè)O為坐標原點，曲線x2+y2+2x﹣6y+1=0上有兩點P、Q，滿足關(guān)于直線x+my+4=0對稱，又滿足 =0．
（1）求m的值；
（2）求直線PQ的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線方程為（x+1）2+（y﹣3）2=9表示圓心為（﹣1，3），半徑為3的圓．

∵點P、Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對稱，

∴圓心（﹣1，3）在直線上．代入得m=﹣1

（2）解：∵直線PQ與直線y=x+4垂直，

∴設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程為y=﹣x+b．

將直線y=﹣x+b代入圓方程，得2x2+2（4﹣b）x+b2﹣6b+1=0．

△=4（4﹣b）2﹣4×2×（b2﹣6b+1）＞0，得2﹣3 ＜b＜2+3 ．

由韋達定理得x1+x2=﹣（4﹣b），x1x2= ．

y1y2=b2﹣b（x1+x2）+x1x2= +4b．

∵ =0，∴x1x2+y1y2=0，

即b2﹣6b+1+4b=0．

解得b=1∈（2﹣3 ，2+3 ）．

∴所求的直線方程為y=﹣x+1

【解析】（1）曲線x2+y2+2x﹣6y+1=0上有兩點P、Q，滿足關(guān)于直線x+my+4=0對稱，說明曲線是圓，直線過圓心，易求m的值；（2）設(shè)P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2），PQ方程為y=﹣x+b．聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理，以及 =0． 求得k的方程，然后求直線PQ的方程．
【考點精析】利用一般式方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時為0）．