Question

數列{a_n}是等差數列，數列{b_n}滿足b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N*），數列{b_n}的前n項和為S_n．
（1）若數列{a_n}的公差d等于首項a₁，試用數學歸納法證明：對于任意n∈N*，都有S_n=；
（2）若數列{a_n}滿足：3a₅=8a₁₂＞0，試問n為何值時，S_n取得最大值？并說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：當n=1時，S₁=b₁，==b₁，原式成立．（1分）
假設當n=k時，S_k=成立，（2分）
則S_k+1=S_k+b_k+1=（4分）
====（6分）
所以n=k+1時，等式仍然成立，故對于任意n∈N*，都有S_n=；（8分）
（2）因為3a₅=8a₁₂＞0，所以3a₅=8（a₅+7d），a₅=-＞0，所以d＜0
又a₁₆=a₅+11d=-＞0，a₁₇=a₅+12d=＜0，（11分）
所以a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈，b₁＞b₂＞b₃＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈，
因為b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0，（13分）
a₁₅=a₅+10d=-＞0，a₁₈=a₅+13d=＜0，
所以a₁₅＜-a₁₈，所以b₁₅＞-b₁₆，b₁₅+b₁₆＞0，（15分）
故S₁₆＞S₁₄，所以S_n中S₁₆最大．（16分）
分析：（1）當n=1時，S₁=b₁，==b₁，原式成立．假設當n=k時，S_k=成立，由此證明n=k+1時，等式仍然成立．
（2）由3a₅=8a₁₂＞0，知3a₅=8（a₅+7d），a₅=-＞0，所以d＜0．由a₁₆=a₅+11d=-＞0，a₁₇=a₅+12d=＜0，知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈，b₁＞b₂＞b₃＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈，由此能夠推導出S_n中S₁₆最大．
點評：本題考查數列和函數的綜合運用，解題時要認真審題，注意數列歸納法的合理運用，恰當地進行等價轉化．