Question

在棱長為的正方體中,是線段的中點,.
(1) 求證:^；
(2) 求證://平面；
(3) 求三棱錐的表面積.

Answer 1

(1)證明見解析    (2) 證明見解析
(3).

本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運用。第一問中，利用，得到結論，第二問中，先判定為平行四邊形，然后，可知結論成立。
第三問中，是邊長為的正三角形，其面積為，
因為平面，所以，
所以是直角三角形，其面積為，
同理的面積為， 面積為. 所以三棱錐的表面積為.
解: (1)證明：根據正方體的性質，
因為，
所以，又，所以，，
所以^.               ………………4分
(2)證明：連接，因為，
所以為平行四邊形，因此，
由于是線段的中點，所以，      …………6分
因為面，平面，所以∥平面.   ……………8分
(3)是邊長為的正三角形，其面積為，
因為平面，所以，
所以是直角三角形，其面積為，
同理的面積為，              ……………………10分
面積為.         所以三棱錐的表面積為