Question

如圖：四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，且CE∥AB，
（1）求證CE⊥平面PAD；
（2）若

AD

=2

AE

，F(xiàn)為PD的中點，求證CF∥平面PAB
（3）若PA=AB=1，AD=3，CD=

2

，∠CDA=45°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（I）由線面垂直的判定與性質，結合已知條件證出PA⊥CE且CE⊥AD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，即可證出CE⊥平面PAD；
（II）連結EF，利用三角形中位線定理證出EF∥PA，進而得出EF∥平面PAB，同理得到CE∥平面PAB，從而得出平面CEF∥平面PAB，得CF∥平面PAB；
（III）由（I）可知CE⊥AD，利用三角函數(shù)算出AB=CE=1，可得四邊形ABCE為矩形，進而算出四邊形ABCD的面積．再由P到平面ABCD的距離PA=1，利用錐體的體積公式加以計算，可得四棱錐P-ABCD的體積．

解答：解：（I）∵PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，∴PA⊥CE，
∵AB⊥AD，CE∥AB，∴CE⊥AD
又∵PA∩AD=A，∴CE⊥平面PAD
（II）連線EF
∵

AD

=2

AE

，F(xiàn)為PD的中點，
∴EF為△PAD的中位線，得EF∥PA
∵EF?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
同理可得CE∥平面PAB，
∵EF、CE是平面CEF內的相交直線，
∴平面CEF∥平面PAB，
結合CF?平面CEF，得CF∥平面PAB；
（III）由（I）可知CE⊥AD
在Rt△ECD中，DE=CDcos45°=1，CE=CDsin45°=1，
又∵AB=CE=1，AB∥CE，
∴四邊形ABCE為矩形，BC=AE=AD-DE=2
因此，四邊形ABCD的面積為S=S_矩形ABCE+S_△CDE=1×2+

1

2

×1×1=

5

2

又∵PA⊥平面ABCD，PA=1
∴四棱錐P-ABCD的體積為V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD×PA=

5

6

．

點評：本題著重考查了空間直線與直線、直線與平面的位置關系，幾何體的體積求法等知識，屬于中檔題．同時考查了空間想象能力、推理論證能力、運算求解的能力和數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想．