Question

【題目】已知函數，，其導函數為.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若函數有兩個零點，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）求導得到，討論和兩種情況，得到答案.

（2），設，求導得到單調性得到，得到答案.

（3）要證，即，構造函數，證明函數單調遞減，得到，根據單調性得到答案.

（1），，

當時，恒成立，函數單調遞增；

當時，，，故在上單調遞減，在上單調遞增.

綜上所述：時，函數在R上單調遞增，時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.

（2），即，設，

則

設，則在上恒成立，故單調遞增，

故，故在上單調遞減，在上單調遞增，

故，故.

（3），故，，相加得到.

要證，即證，即.

，即，設，則，

函數在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增，

函數圖像如圖所示：故取，

構造函數，，

，，函數在上單調遞減，故，

當時，，函數單調遞減，，故.

即，即，，，函數單調遞增，

故，即.