Question

已知平面上的動點P（x，y）及兩定點A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別是k₁，k₂，且k₁•k₂=-

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4

．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+m與曲線C交于M，N兩點，且直線BM、BN的斜率都存在，并滿足k_BM•k_BN=-

1

4

，求證：直線l過原點．

Answer 1

分析：（1）根據直線PA，PB的斜率分別是k₁，k₂，且k₁•k₂=-

1

4

，建立方程，化簡即可得到動點P的軌跡C的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理及k_BM•k_BN=-

1

4

，求出m的值，即可得到結論．

解答：（1）解：由題意得

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

（x≠±2），即x²+4y²-4=0．
所以點P的軌跡C的方程為

x2

4

+y²=1（x≠±2）．
（2）證明：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯立方程

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．
所以x₁+x₂=

-8km

4k2+1

，x₁x₂=

4m2-4

4k2+1

．
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-4k2

4k2+1

．
又k_BM•k_BN=-

1

4

，即

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-

1

4

，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+4y₁y₂=0．
代入并整理得m（m+2k）=0，即m=0或m=-2k，
當m=0時，直線l恒過原點；
當m=-2k時，直線l恒過點（2，0），但不符合題意．
所以直線l恒過原點．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，正確運用韋達定理是關鍵．