Question

【題目】已知函數
（1）當 時，求曲線 在點 處的切線方程；
（2）當 時，判斷方程 實根個數.
（3）若 時，不等式 恒成立，求實數 m 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】當 時， ， ，切點坐標為 (1,0) ，

所以 切線方程為

（2）

【解答】 時，令 ，

， 在 上為增函數

又

所以 在 內有且僅有一個零點

所以 在 內 有且僅有一個實數根

（或說明 也可以）

（3）

【解答】 恒成立，即 恒成立，

又 ，則當 時， 恒成立，

令 ，只需 小于 的最小值，

，

因為， ， 所以，所以 當 時

所以G(X) 在 上單調遞減， 所以G(X) 在 的最小值為

則 m 的取值范圍是

【解析】本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究曲線上某點切線方程，導數在最大值、最小值問題中的應用，解決問題的關鍵是是能將不等式的恒成立問題轉化為函數的最值來處理，并得到參數的范圍，同時要理解導數的幾何意義表示的為切線的斜率.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．