Question

已知奇函數f（x）滿足f（x）=-f（x+2），當x∈[0，1]時，f（x）=x，若af²（x）+bf（x）+c=0在x∈[0，6]上恰有5個根，且記為x_i（i=1，2，3，4，5），則x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=

 

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Answer 1

分析：奇函數f（x）滿足f（x）=-f（x+2），可得f（x+2）=-f（x）=f（-x），因此函數f（x）關于直線x=1對稱．f（x+4）=-f（x+2）=f（x），可得函數f（x）的周期為4．可得函數f（x）關于直線x=3也對稱．由于af²（x）+bf（x）+c=0在x∈[0，6]上恰有5個根，且記為x_i（i=1，2，3，4，5），不妨設x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅．則x₁+x₅=x₂+x₄=2x₃=6．即可得出．

解答：解：∵奇函數f（x）滿足f（x）=-f（x+2），
∴f（x+2）=-f（x）=f（-x），∴函數f（x）關于直線x=1對稱．
又f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴函數f（x）的周期為4．可得函數f（x）關于直線x=3也對稱．
∵af²（x）+bf（x）+c=0在x∈[0，6]上恰有5個根，且記為x_i（i=1，2，3，4，5），不妨設x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅．則x₁+x₅=x₂+x₄=2x₃=6．
則x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=15．
故答案為：15．

點評：本題綜合考查了函數的奇偶性、周期性、一元二次方程的解的情況，考查了數形結合的思想方法，屬于難題．