Question

設f₁（x）=sinx，定義f_n+1（x）=為f_n（x）的導數，即f_n+1（x）=f′_n（x），n∈N^*若△ABC的內角A滿足f1(A)+f2(A)+…+f2014(A)=

2

2

，則tanA的值是

 

．

Answer 1

分析：根據導數公式直接進行求導，得到函數f_n（x）具備周期性，然后根據周期性將條件進行化簡，利用三角函數的公式進行求解即可即可得到結論．

解答：解：∵f₁（x）=sinx，f_n+1（x）=f′_n（x），
∴f₂（x）=f′₁（x）=cosx，
f₃（x）=f′₂（x）=-sinx，
f₄（x）=f'₃（x）=-cosx，
f₅（x）=f′₄（x）=sinx，
f₆（x）=f′₅（x）=cosx，
∴f_n+1（x）=f′_n（x），具備周期性，周期性為4．
且f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=cosx-sinx+sinx-cosx=0，
∵f1(A)+f2(A)+…+f2014(A)=

2

2

，
∴f₁（A）+f₂（A）=

2

2

，
即sinA+cosA=

2

2

，
∴

2

sin?(A+

π

4

)=

2

2

，
即sin（A+

π

4

）=

1

2

，
∵A是△ABC的內角，
∴A+

π

4

=

5π

6

，
解得A=

5π

6

-

π

4

=

7

12

π．
∴tanA=tan?(

5π

6

-

π

4

)=

tan? 5π 6 -tan? π 4

1+tan? 5π 6 tan? π 4

=

- 3 3 -1

1- 3 3

=-(2+

3

)．
故答案為：-(2+

3

)．

點評：本題主要考查導數的計算，利用條件得到函數具備周期性是解決本題的關鍵，考查三角函數的化簡和求值，涉及的知識點較多，綜合性較強，難度交大．