Question

已知函數f(x)=

ax(x＜0) (a-3)x+4a(x≥0)

滿足對任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據題設不等式判斷出函數為減函數，然后分別看x＜0和x≥時a的范圍，同時還要保證整個R上f（x）均為減函數，進而利用在x趨近于0的時候，a^x≥（a-3）x+4a，通過極限法求得a的范圍，最后綜合可得a的范圍．

解答：解：對于不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0
當x₁＜x₂時，就有：x₁-x₂＜0
所以：f（x₁）-f（x₂）＞0
即說明函數f（x）在定義域R內為減函數 ①
當x＜0時，f（x）=a^x
所以，f'（x）=a^xlna＜0
則0＜a＜1…（1）②
當x≥0時，f（x）=（a-3）x+4a
所以，f'（x）=a-3＜0
則a＜3…（2）
而，要保證在整個R上f（x）均為減函數
所以：在x趨近于0的時候，a^x≥（a-3）x+4a

lim

x→0

f（x）=

lim

x→0

a^x=1
f（x）=

lim

x→0

（a-3）x+4a=4a
所以，1≥4a
則，a≤

1

4

…（3）
聯立（1）（2）（3）得到：
0＜a≤

1

4

故答案為：（0，

1

4

]

點評：本題主要考查了函數單調性的性質．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．屬中檔題．