Question

已知

a

=(2sinx，-

3

)，

b

=(sinx，sin2x)，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）若

a

⊥

b

，求x的值；
（2）若f(x)=

a

•

b

，求f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x值；
（3）令g(x)=f(x+

π

6

)，判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過

a

⊥

b

，得到數(shù)量積為0，化簡函數(shù)表達(dá)式，即可求x的值；
（2）通過數(shù)量積求出函數(shù)的表達(dá)式，然后化簡為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求f（x）的最大值及使f（x）取得最大值的x值；
（3）通過g(x)=f(x+

π

6

)，求出函數(shù)的表達(dá)式，利用奇偶性的定義直接判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，即可．

解答：解：（1）

a

=(2sinx，-

3

)，

b

=(sinx，sin2x)，

a

⊥

b

所以

a

•

b

=0，(2sinx，-

3

)•(sinx，sin2x)=0，
2sin²x-

2

sin2x=0即cos2x+

3

sin2x=0，tan2x=-

3

3

，x∈[

π

4

，

π

2

]，所以x=

5π

12

；
（2）由（1）可知：f(x)=

a

•

b

=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），所以函數(shù)的最大值為：2，此時2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z；
所以x=kπ+

π

6

，k∈Z；
（3）因?yàn)?span id="ym0cqgw" class="MathJye">g(x)=f(x+

π

6

)=2sin（2x+

π

3

+

π

6

）=2cos2x，
因?yàn)間（-x）=2cos（-2x）=2cos2x=g（x），所以函數(shù)是偶函數(shù)．

點(diǎn)評：本題是中檔題，通過向量的數(shù)量積，考查函數(shù)的基本性質(zhì)，最大值，奇偶性的判斷，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力，常考題型．