Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知在極坐標系和直角坐標系中，極點與直角坐標系的原點重合，極軸與軸的非負半軸重合，曲線的極坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數）.

（1）求曲線的直角坐標方程和曲線的普通方程；

（2）判斷曲線與曲線的位置關系，若兩曲線相交，求出兩交點間的距離.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）曲線的極坐標方程為，即，利用，即可化為直角坐標方程，曲線的參數方程為（為參數），消去即可化為普通方程；（2）由（1）知曲線和曲線都是圓，將兩圓方程相減即可得兩圓公共弦所在的直線方程，即可求出兩交點間的距離.

試題解析：（1）∵

∴，

將代入上式整理得曲線的直角坐標方程為，

由為參數）消去參數得曲線的普通方程為.

（2）由（1）知曲線是圓心為（1,0），半徑的圓，

曲線是圓心為（0,1），半徑=2的圓，

∵，∴兩圓相交，

兩圓方程相減得公共弦所在的直線方程為，

∴圓心到公共弦所在直線的距離為=，

∴公共弦長為=.