Question

如圖所示，在排成4×4方陣的16個(gè)點(diǎn)中，中心位置4個(gè)點(diǎn)在某圓內(nèi)，其余12個(gè)點(diǎn)在圓外.從16個(gè)點(diǎn)中任選3點(diǎn)，作為三角形的頂點(diǎn)，其中至少有一個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)的三角形共有多少個(gè)？

Answer 1

錯(cuò)解1：16個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)有種方法，其中三個(gè)點(diǎn)都不在圓內(nèi)的有種，故滿(mǎn)足題設(shè)條件的三角形有-=340個(gè).

錯(cuò)解2：要作出符合題意的三角形，從圓內(nèi)四點(diǎn)中：

①任取3點(diǎn)，有種；

②任取2點(diǎn)，圓外取1點(diǎn)，有種；

③任取1點(diǎn)，圓外取2點(diǎn)，有種.

綜上可知，至少有一個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)的三角形共有++=340個(gè).

剖析：錯(cuò)解1中不符合題意的還有兩種情形：一是4點(diǎn)共線(xiàn)，但其中任意3點(diǎn)至少有1點(diǎn)在圓內(nèi)，這樣的4點(diǎn)有6種；還有就是只有3點(diǎn)共線(xiàn)，但其中恰有1點(diǎn)在圓內(nèi)，這樣的3點(diǎn)有4種.因此，正確解法是：--6-4=312種.

錯(cuò)解2錯(cuò)在②③兩種情形，其中所取的3點(diǎn)可能是共線(xiàn)的.因此，要兼顧題中的兩個(gè)約束條件：所取三點(diǎn)可作成三角形；至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi).因此正確解法是：從圓內(nèi)四點(diǎn)中任取.

①3點(diǎn)，有種；

②2點(diǎn)，圓外12點(diǎn)中取1點(diǎn)，有種；

③1點(diǎn)，圓外12點(diǎn)中取2點(diǎn)，有（-4）種.

綜上可知，所求的三角形共有++（-4）=312個(gè).