Question

已知矩陣A=

7 -9 6 -8

，列向量X=

x y

，Y=

25 22

（1）用逆矩陣方法解方程（組） AX=Y；
（2）用特征向量與特征值求A11×

-61 -41

的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)系數(shù)行列式△，得到矩陣A可逆．寫出其逆矩陣，再由

7 -9 6 -8

x y

=

25 22

，即可解得原方程組的解；
（2）依據(jù)特征矩陣為

7-λ -9 6 -8-λ

，寫出特征多項式，求得特征值，再求得對應(yīng)的特征向量，設(shè)

-61 -41

=m

3 2

+n

1 1

，解此方程組得m=-20，n=-1最后即可求得求A11×

-61 -41

的值．

解答：解：（1）系數(shù)行列式△=|A|=-56-（-54）=-2，矩陣A可逆．
逆矩陣為A-1=-

1

2

-8 9 -6 7

=

4 - 9 2 3 - 7 2

…（3分）
由

7 -9 6 -8

x y

=

25 22

，得

x y

=

4 - 9 2 3 - 7 2

25 22

=

1 -2

…（5分）
∴原方程組的解是

x=1 y=-2

…（6分）
（2）特征矩陣為

7-λ -9 6 -8-λ

，特征多項式為（7-λ）（-8-λ）-54，即λ²+λ-2…（8分）
解方程λ²+λ-2=0，求得特征值λ₁=1，λ₂=-2                    …（9分）
當(dāng)λ=1時，對應(yīng)的特征向量為X₁=

3 2

當(dāng)λ=-2時，對應(yīng)的特征向量為X₂=

1 1

，…（10分）
設(shè)

-61 -41

=m

3 2

+n

1 1

，解此方程組得m=-20，n=-1    …（11分）
∴A11×

-61 -41

=（-20）×1¹¹×

3 2

+（-1）×（-2）¹¹

1 1

=

-60+2048 -40+2048

=

1988 2008

．

點評：本小題主要考查特征值與特征向量的計算、系數(shù)矩陣的逆矩陣解方程組等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．