Question

【題目】已知函數（其中為常數）.

（1）若在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）若在上的最大值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）對函數進行求導，再利用參變分離，將問題轉化為恒成立問題；

（2）對函數進行求導得，再對分成三種情況，即、、進行分類討論，分別求出最大值，進而得到的值.

（1）由可得，

由在上單調遞增可得在上恒成立，

即，，由可得，

故只需，，即實數的取值范圍是.

（2）由（1）可知，

①當，即時，在(1，2)上恒成立，

故在(1，2)上單調遞增，則在[1，2]上的最大值為，

故，滿足；

②當，即時，在(1，2)上恒成立，

故在(1，2)上單調遞減，則在[1，2]上的最大值為，

故，不滿足，舍去；

③當，即時，由可得.

時，；當時，，

即在上單調遞增，在上單調遞減，

故的最大值為，即，

所以，，不滿足，舍去.

綜上可知，.