Question

已知函數f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0且a≠1）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）若函數f（x）的最小值為-2，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）利用對數函數的性質確定函數的定義域．（2）利用復合函數的單調性之間的關系去求值．

解答：解：（1）要使函數有意義則

1+x＞0 3-x＞0

⇒-1＜x＜3…（3分）
∴函數f（x）的定義域為（-1，3）…（4分）．
（2）∵f（x）=log_a（1+x）（3-x）=loga(-x2+2x+3)=loga[-(x-1)2+4]…（6分）
當0＜a＜1時，則當x=1時，f（x）有最小值log_a4，
∴log_a4=-2，a^-2=4，
∵0＜a＜1，∴a=

1

2

…（9分）
當a＞1時，則當x=1時，f（x）有最大值log_a4，f（x）無最小值，
此時a無解…（10分），
綜上知，所求a=

1

2

．

點評：本題主要考查對數函數的性質和運算，要求熟練掌握對數函數的圖象和性質．