Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別為，. 已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過作斜率為的直線交橢圓于兩點(點在點的左側)，且. 若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)將和代入橢圓方程求解即可.

(2) 設,,,聯立直線與橢圓的方程,根據可得,再代入直線方程與韋達定理,再根據,所以在的中垂線上,進而得出關于的函數解析式,根據坐標求解即可.

（1）因為和都在橢圓上,所以

由①式得,即,所以,代入②式,解得.

所以橢圓的標準方程為.

（2）設,,因為過作斜率為的直線交橢圓于兩點,所以.

由得,所以

思路一：

因為,,所以,.

因為,所以,即,

整理得,所以,

又,所以,

即,(*).

所以 則,所以

因為,所以在的中垂線上,則.

所以,即,所以,又,所以.

思路二：

因為,所以,即,所以,

即,所以.

因為,所以在的中垂線上,則.所以,又,則.

所以解得故.

思路三：

因為,所以,所以在的中垂線上,則.

因為,所以,則,所以在的中垂線上,則.

所以解得故.