Question

已知等比數列{a_n}的首項a₁=2012，公比q=-

1

2

，數列{a_n}前n項和記為S_n，前n項積記為Π（n）．
（Ⅰ）求數列{S_n}的最大項和最小項；
（Ⅱ）判斷|Π（n）|與|Π（n+1）|的大小，并求n為何值時，Π（n）取得最大值；
（Ⅲ）證明{a_n}中的任意相鄰三項按從小到大排列，總可以使其成等差數列，如果所有這些等差數列的公差按從小到大的順序依次設為d₁，d₂，d₃，…d_n，證明：數列{d_n}為等比數列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由Sn=

a1[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

2

3

a1[1-(-

1

2

)n]，能求出數列{S_n}的最大項和最小項．
（Ⅱ）由|Π（n）|=|a₁a₂a₃…a_n|，知

|Π(n+1)|

|Π(n)|

=|an+1|=2012(

1

2

)n，由

2012

211

＜1＜

2012

210

，能推導出當n=12時，Π（n）最大．
（Ⅲ）|a_n|隨n增大而減小，數列{a_n}的奇數項均正數且遞減，偶數項均負數且遞增，由此能推導出數列{a_n}中的任意相鄰三項按從小到大排列，總可以使其成等差數列，從而能夠證明數列{d_n}是等比數列．

解答：解：（Ⅰ）Sn=

a1[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

2

3

a1[1-(-

1

2

)n]，
①當n是奇數時，Sn=

2

3

a1[1+(

1

2

)n]，單調遞減，
∴S1＞S3＞S5＞…＞S2n-1＞

2

3

a1．
②當n是偶數時，Sn=

2

3

a1[1-(

1

2

)n]，單調遞增，
∴S2＜S4＜S6＜…＜S2n＜

2

3

a1．
綜上，當n=1時，S_n有最大值為S₁=2012； 當n=2時，S_n有最小值為S₂=1006．…（4分）
（Ⅱ）∵|Π（n）|=|a₁a₂a₃…a_n|，
∴

|Π(n+1)|

|Π(n)|

=|an+1|=2012(

1

2

)n，
∵

2012

211

＜1＜

2012

210

，
∴當n≤10時，|Π（n+1）|＞|Π（n）|；
當n≥11時，|Π（n+1）|＜|Π（n）|，…（6分）
又Π（10）＜0，Π（11）＜0，Π（9）＞0，Π（12）＞0，
∴|Π（n）|的最大值是Π（9）和Π（12）中的較大者．
∵

Π(12)

Π(9)

=a10a11a12=a113=[2011(-

1

2

)10]3＞1，
∴Π（12）＞Π（9），
因此當n=12時，Π（n）最大．…（10分）
（Ⅲ）|a_n|隨n增大而減小，數列{a_n}的奇數項均正數且遞減，偶數項均負數且遞增．
①當n是奇數時，調整為a_n+1，a_n+2，a_n．
則an+1+an=a1(-

1

2

)n+a1(-

1

2

)n-1=

a1

2n

，2an+2=2a1(-

1

2

)n+1=

a1

2n

，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，a_n+1，a_n+2，a_n成等差數列；            …（12分）
②當n是偶數時，調整為a_n，a_n+2，a_n+1；
則an+1+an=a1(-

1

2

)n+a1(-

1

2

)n-1=-

a1

2n

，2an+2=2a1(-

1

2

)n+1=-

a1

2n

，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，a_n，a_n+2，a_n+1成等差數列；
綜上可知，數列{a_n}中的任意相鄰三項按從小到大排列，總可以使其成等差數列．（14分）
①n是奇數時，公差dn=an+2-an+1=a1[(-

1

2

)n+1-(-

1

2

)n]=

3a1

2n+1

；
②n是偶數時，公差dn=an+2-an=a1[(-

1

2

)n+1-(-

1

2

)n-1]=

3a1

2n+1

．
無論n是奇數還是偶數，都有dn=

3a1

2n+1

，則

dn

dn-1

=

1

2

，
因此，數列{d_n}是首項為

3

4

a1，公比為

1

2

的等比數列．…（16分）

點評：本題考查數列的最大項與最小項的求法，考查數列的最大值的求法，考查等比數列的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．