Question

（Ⅰ）設為正數，且，求證：；

（Ⅱ）設為正數，，求證：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）為正數，且，由柯西不等式有：

，

當且僅當，即時等號成立，

．                                 ……………6分

（Ⅱ）證法一：用數學歸納法證明：

①當時，左邊=右邊； 當時，左邊=右邊；

當時，左邊右邊，

所以當時，不等式成立；

②假設當時不等式成立，即，則當時，

是正數，，

， ，

所以當時不等式也成立，

綜合①②得當為正數，時，成立．  ……………12分

證法二：用構造法證明：

設，則：，

是正數，

，又，，，

即當為正數，時，成立．

【解析】略