Question

已知：函數，x∈R．
（Ⅰ）求證：函數f（x）的圖象關于點中心對稱，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）設g（x）=f′（x），a_n+1=g（a_n），n∈N^₊，且1＜a₁＜2，求證：
（ⅰ）請用數學歸納法證明：當n≥2時，；
（ⅱ）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設P（1-x₁，y₁）是函數f（x）的圖象上的任一點，則P關于點的對稱點是Q（1+x₁，），證明Q也在函數f（x）的圖象上，即可得到結論；根據f（1+x₁）+f（1-x₁）=，f（1）=，利用倒序相加法，即可求得結論；
（Ⅱ）g（x）=f′（x）=-．（ⅰ）先證明當n=2時，命題成立，再利用g（x）在[1，+∞）上單調遞減，證明n=k+1時，命題成立，即可得到結論；
（ⅱ）先證明＜，再利用等比數列的求和公式，即可得到結論．
解答：（Ⅰ）證明：設P（1-x₁，y₁）是函數f（x）的圖象上的任一點，則P關于點的對稱點是Q（1+x₁，）
∵f（1+x₁）+f（1-x₁）=[]+[]=
∴f（1+x₁）=-f（1-x₁）=-y₁，
∴Q也在函數f（x）的圖象上
∴函數f（x）的圖象關于點中心對稱；
∵f（1+x₁）+f（1-x₁）=，f（1）=
∴f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）+f（2009）+f（2008）+…+f（2）+f（1）+…+f（-2007）=
∴f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）=5356；
（Ⅱ）證明：g（x）=f′（x）=-．
（ⅰ）（1）當n=2時，a₂=g（a₁）=-
∵1＜a₁＜2，∴1＜a₂＜，∴命題成立
（2）假設n=k（k≥2）時，1＜a_k＜，則a_k+1=g（a_k）=-
∵g（x）在[1，+∞）上單調遞減，∴1-g（2）＜g（）＜a_k+1＜g（1）=
∴n=k+1時，命題成立
由（1）（2）可知，當n≥2時，；
（ⅱ）=
∵，∴＜1
∴＜
∴＜＜…＜＜
∴＜1++…=2-＜2
∴．
點評：本題考查函數圖象的對稱性，考查數學歸納法，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．