Question

已知函數f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

（a＞0）．
（1）實數a為何值時，使得f（x）在（0，+∞）內單調遞增；
（2）證明：（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（1）求導數，要使得f（x）在（0，+∞）內單調遞增，只需當x＞0時，f′（x）≥0恒成立，即可求出實數a的值；
（2）要證明：（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

，只需證明（

2015

2014

）²⁰¹⁵＞e，兩邊取自然對數，由（1）知f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在（0，+∞）內單調遞增，即可得出結論．

解答： （1）解：f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

（a＞0）的導數
f′（x）=

x+1-a

(x+1)2

，
由于f（x）在（0，+∞）內單調遞增，
即有f′（x）≥0在x＞0時恒成立，
即x+1-a≥0在x＞0時恒成立，則a≤x+1，即a≤1，
由于a＞0，則a的取值范圍是（0，1]；
（2）證明：要證（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

，即證（

2015

2014

）²⁰¹⁵＞e，
兩邊取自然對數，2015ln

2015

2014

＞1，即證ln（1+

1

2014

）-

1

2014+1

＞0．
由（1）知f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在（0，+∞）內單調遞增，
由于

1

2014

＞0，則f（

1

2014

）＞f（0）=0，
令x=

1

2014

，則f（

1

2014

）=ln（1+

1

2014

）-

1

2014+1

，
則有f（

1

2014

）=ln（1+

1

2014

）-

1

2014+1

＞0，
即不等式（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

成立．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．