Question

已知函數f（x）=x²-2，g（x）=xlnx，，
（1）若對一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）試判斷方程ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k=0有幾個實根．

Answer 1

分析：（1）若對一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，將g（x）代入化簡得2xlnx+x²-ax+3≥0解出a要小于函數的最小值，利用導數討論函數的增減性得到函數的最小值即可；
（2）將f（x）代入到方程中化簡得k等于一個函數，求出函數的導函數=0時的x值，然后討論函數的增減性得到函數的最大值，然后討論k的范圍決定方程解的個數．

解答：解：（1）若對一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，
即2xlnx+x²-ax+3≥0在x∈（0，+∞）恒成立，∴a≤2lnx+x+

3

x

在x∈（0，+∞）恒成立，
令F(x)=2lnx+x+

3

x

，則F′(x)=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，F'（x）=0時x=1，F（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，∴F_min=F（1）=4，∴只需a≤4．
（2）將原方程化為ln(1+x2)-

1

2

x2+1=k，
令G(x)=ln(1+x2)-

1

2

x2+1，為偶函數，且G（0）=1，x＞0時G′(x)=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

，

∴G（x）_max=

1

2

+ln2，且x→+∞，y→-∞∴k＞

1

2

+ln2時，無解；k=

1

2

+ln2或k=1時，三解；1＜k＜

1

2

+ln2，四解；k＜1時，兩解．

點評：考查學生利用導數求函數極值的能力，理解函數恒成立條件的能力，以及函數與方程的綜合運用能力．