Question

（13分）如圖分別是正三棱臺(tái)ABC－A₁B₁C₁的直觀圖和正視圖，O，O₁分別是上下底面的中心，E是BC中點(diǎn)．
（1）求正三棱臺(tái)ABC－A₁B₁C₁的體積；
（2）求平面EA₁B₁與平面A₁B₁C₁的夾角的余弦；
（3）若P是棱A₁C₁上一點(diǎn)，求CP＋PB₁的最小值．

Answer 1

（1） ；
（2） ；（3） 的最小值為 

本試題主要是考查了立體幾何中二面角的求解和棱臺(tái)體積公式的運(yùn)用，以及線段和的最值問題的綜合運(yùn)用。
（1）首先要求解三棱臺(tái)的體積，關(guān)鍵是高度和底面積，然后結(jié)合公式得到。
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求解二面角的平面角的問題。
（3）結(jié)合三角形的知識(shí)，求解兩邊的和的最小值，要借助于余弦定理得到。
解:（1）由題意,正三棱臺(tái)高為……..2分
………..4分
（2）設(shè)分別是上下底面的中心，是中點(diǎn)，是中點(diǎn).
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系. ，， ，，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即
取，取平面的一個(gè)法向
量，設(shè)所求角為
則 ……..8分
（3）將梯形繞旋轉(zhuǎn)到,使其與成平角

，由余弦定理得
即的最小值為 ……..13分