Question

若二項式(

x

+

2

3 x

)n的展開式中的常數項是80，則該展開式中的二項式系數之和等于

 

．

Answer 1

分析：在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數等于0，求出r的值，即可求得常數項，再根據常數項等于80求得實數n的值，從而求得展開式中的二項式系數之和2ⁿ 的值．

解答：解：二項式(

x

+

2

3 x

)n的展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r n

•x

n-r

2

•2^r•x-

r

3

=2^r•

C

r n

•x

3n-5r

6

，
令

3n-5r

6

=0，可得 3n=5r
，故展開式的常數項為 2^r•

C

r n

=2

3n

5

•

C

3n 5 n

=80，
解得n=5，
故該展開式中的二項式系數之和等于 2ⁿ=32，
故答案為：32．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于中檔題．